Frattale, cioè frammentato e irregolare

Dare una definizione soddisfacente di questi stranissimi enti matematici non è affatto facile:

non ci è riuscito nemmeno il loro scopritore!

In prima approssimazione possiamo affermare che una curva si dice frattale se ha la proprietà dell'autosimilitudine:

ingrandendo un qualsiasi tratto di curva si visualizza un insieme di particolari altrettanto ricco e complesso del precedente;

questo procedimento di "zoom" può proseguire all'infinito.

Da ciò derivano due curiose caratteristiche delle curve frattali: pur essendo continue non ammettono una tangente unica in alcun punto;

presi due punti della curva, anche vicinissimi tra loro, la distanza fra essi (misurata lungo la curva) è sempre infinita.

Quest'ultimo fatto lo possiamo facilmente verificare per il fiocco di neve appena visto.

Ad ogni iterazione la lunghezza della curva cresce di un fattore 4/3:

se il segmento di partenza ha lunghezza pari a 1,

il secondo misura 4/3,

il terzo 16/9,

il quarto 64/27

e così via.

Questa successione è chiaramente divergente, cioè tende ad assumere un valore infinito.

Ma non è tutto:

ogni pezzo del fiocco di neve, anche piccolissimo, gode della proprietà dell'autosimilitudine cioè contiene in sé un'infinita ricchezza di particolari, di minuscoli fiocchi di neve, e quindi anch'esso è di lunghezza infinita.

provate da soli a costruire il fiocco di neve con il programma che trovate QUI