Un insieme di Mandelbrot fatto in casa

Prima di spingerci oltre nell'esplorazione di M, cerchiamo di capire meglio come si ottengono questi disegni.

Vi sembrerà strano, ma è possibile generarli con un programma di poche righe!

Iniziamo ricordando qualche formula matematica (chiedo venia):

Somma di due numeri complessi: (a + ib) + (c + id) = (a + c) + i(b + d)

Modulo di un numero complesso (ovvero distanza di un punto del piano dall'origine degli assi): mod(a + ib) = sqrt(a*a + b*b)

Quadrato di un numero complesso: (a + ib)2 = (a*a - b*b) + 2abi

Associamo ad ogni pixel un punto del piano complesso e determiniamo se esso appartiene all'insieme:

in caso affermativo lo coloriamo in bianco, altrimenti in nero.

Abbiamo così ottenuto una rappresentazione in 2 colori dell'insieme.

Per rendere la cosa più gradevole dal punto di vista estetico, e per meglio comprendere il comportamento dei vari punti del piano rispetto alla legge di Mandelbrot, conviene usare più colori.

Si può allora decidere di indicare con colori diversi la velocità con cui la successione diverge:

ad esempio, si colorano in blu i punti in cui la successione diverge alla prima iterazione,

in verde quelli in cui diverge alla seconda, ecc.

Ma come si fa a stabilire se la successione diverge o no?

Guardiamo più attentamente la legge di Mandelbrot:

In essa compare il quadrato di z.

Ebbene, secondo una proprietà dei numeri complessi, se un numero z ha modulo >=2, il suo quadrato avrà modulo ancora maggiore e quindi la successione sarà divergente.

Se invece la successione, dopo un certo numero massimo di iterazioni, non accenna a divergere, si dà per scontato che non divergerà mai, e si accetta il punto che la origina come membro dell'insieme.

La cosa non è corretta dal punto di vista teorico, ma, se il numero di iterazioni è abbastanza alto, la probabilità di commettere errori di attribuzione è ragionevolmente limitata.

Per quanto detto finora, l'algoritmo opera nel seguente modo: viene calcolato ripetutamente il valore di z mediante la formula sopra indicata, e, ogni volta, il modulo di z viene confrontato col valore 2.

Il procedimento si arresta quando la successione mostra di essere divergente (mod(z)>=2) oppure quando si giunge al numero massimo di iterazioni.

Infine viene attribuito il colore opportuno al pixel corrispondente al punto c considerato e si passa al punto, e al pixel, successivi.

Quanto appena detto è alla base delle poche righe di codice in linguaggio C, Pascal e QBasic che ho approntato.

Per velocizzare l'elaborazione ho adottato due semplici ma importanti accorgimenti.

Il primo è nella condizione di uscita del ciclo WHILE che applica iterativamente la legge di Mandelbrot: il numero complesso in esame (e cioè il modulo del valore corrente di z, pari a sqrt(a*a+b*b)) viene confrontato senza la radice con il valore 4 (anziché 2), risparmiando alla macchina l'inutile e dispendiosa operazione di radice.

Il secondo accorgimento si basa sulla constatazione che, per colorare un pixel appartenente all'insieme, è necessario un numero di calcoli molto maggiore che per gli altri pixel in quanto il ciclo WHILE viene eseguito MAXCONT volte (dove MAXCONT è il numero massimo di iterazioni prefissato).

Ho pensato, quindi, di individuare (per via empirica) un rettangolo di piano complesso tutto appartenente all'insieme: in questo modo è possibile evitare l'esecuzione del ciclo per tutti i pixel di questo rettangolo, che verranno immediatamente attribuiti all'insieme senza ulteriori calcoli.

L'istruzione IF..THEN posta subito prima del WHILE si occupa proprio di questo.

Per velocizzare ulteriormente il programma si potrebbe sfruttare la simmetria dell'insieme rispetto all'asse delle ascisse, ma ho preferito non seguire questa strada per non appesantire eccessivamente il listato.

In alternativa si potrebbe ridurre ulteriormente il valore della costante MAXCONT, ma questo andrebbe a scapito della precisione del disegno (il valore attuale è già molto basso).

Per "zoomare" su un particolare della figura basta modificare le costanti INFX, SUPX, INFY, SUPY e rilanciare il programma; queste costanti, infatti, definiscono il rettangolo di piano che deve essere visualizzato sullo schermo (sono le coordinate del primo e del quarto vertice).

Se i valori attribuiti a tali costanti sono tali che INFX>SUPX si ottiene un'immagine ribaltata attorno all'asse delle ordinate.

La capacità di ingrandimento del programma è limitata unicamente dalla precisione del tipo di dato in virgola mobile utilizzato.